DIÉDRICO: Intersección de rectas con sólidos

Vistos ayer en clase los casos más simples - recta con cilindro recto, por ejemplo -, aquí tenemos otras intersecciones para las que sí hay que utilizar un plano auxiliar que contenga a la recta dada y hallar la sección plana del mismo con el sólido dado: la proyección correspondiente de la recta nos dará en esta sección los puntos de entrada (E) y salida (S) de la recta con el sólido.

En la imagen superior faltaría nombrar con Q' (al lado de r') la traza vertical del proyectante vertical en el que contenemos a la recta R y cuya sección plana con la pirámide dada, que observamos en su proyección horizontal, es el polígono 1-2-3-4-5-6. Los puntos de corte de r con la sección son e y s, cuyas proyecciones verticales hallaremos y marcaremos entonces la visibilidad de la recta.

En las siguientes imágenes tenemos otros casos similares:

Intersección de recta con cono recto de revolución

Intersección con prisma oblicuo (paralelo al PV)

Intersección con cilindro oblicuo de revolución

Y las últimas son los ejemplos vistos ayer clase:

Intersección con prisma recto

Intersección con pirámide oblicua

Espero que no os queden dudas y, si es así, las vemos. en clase.

¡Ánimo!

CONO RECTO DE REVOLUCIÓN: SECCIONES (II)

Para el problema de la sección de un cono recto con un plano oblicuo, al igual que en el caso de la sección con el proyectante vertical, utilizaremos generatrices auxiliares, para obtener así más puntos a la hora de trazar la sección plana, cuya verdadera magnitud sería una elipse.

En la primera imagen hemos hallado el punto 1 de la sección:

- La generatriz AV es una recta frontal, que hemos contenido en un plano auxiliar proyectante Q, cuya intersección con P es la recta R. Su proyección horizontal, r, corta a la generatriz av en 1, del que hallamos su proyección vertical, 1'.

Procedemos igual con las demás generatrices, la BV y las auxiliares (CV, DV, EV y FV).

Para hallar la verdadera magnitud de la sección abatimos el plano P sobre el PH de proyección. Hemos trazado la recta horizontal S que contiene al punto 6 de la sección.

 

 

Y para los demás puntos de la sección, en este caso hemos aplicado la relación de afinidad ortogonal entre la proyección horizontal de la sección hallada y su verdadera magnitud. En la imagen superior se aprecia cómo se ha hallado el punto 5 a partir del punto 6.

Y en la última imagen está completa la verdadera magnitud. Debería ser una elipse, aunque se parece...confío en vuestras aptitudes para que os salga mejor que a mí.

 

¡Ánimo, que ya nos queda menos!

CILINDRO RECTO DE REVOLUCIÓN: SECCIONES

Para hallar la verdadera magnitud de la sección plana producida por un plano proyectante vertical en un cilindro recto de revolución, nos servimos de generatrices auxiliares en la proyección vertical del sólido para obtener más puntos y facilitar el trazado a mano alzada de la curva de la sección.

Hemos trazado las generatrices C, D, E, F, G y H para obtener los puntos de corte con la traza vertical P' - 2, 3, 4, 6, 7 y 8 -, que junto con 1 y 5, en las generatrices del contorno aparente del cilindro, formarán la sección buscada.
Abatimos P sobre el PH para obtener la verdadera magnitud.

SECCIÓN CON PLANO OBLICUO

Al igual que en el caso anterior, utilizamos generatrices auxiliares para obtener más puntos a la hora de trazar la sección plana.

Estas generatrices son rectas verticales y como tal las contenemos en planos frontales auxiliares, cuya intersección con el plano oblicuo son rectas frontales que cortarán en su proyección vertical a cada una de las generatrices.

En el dibujo solo he nombrado el plano auxiliar frontal Q, y su intersección, recta R frontal, con el plano P.

 Para hallar la verdadera magnitud de la sección, abatimos el plano sobre el PV.

CONO RECTO DE REVOLUCIÓN: SECCIONES (I)

Las proyecciones del cono recto de revolución, cuando este está apoyado sobre el PH, son muy fáciles  de representar, siendo la proyección horizontal una circunferencia equivalente a la base del cono y la proyección horizontal un triángulo isósceles de base el diámetro de la circunferencia y como lados iguales las generatrices del contorno aparente del cono.

Las secciones que producen diferentes planos en este sólido fueron estudiadas en el tema de las secciones cónicas, visto en el primer trimestre. Por ello, sabemos que si el plano de corte es oblicuo, obtendremos como sección una elipse; si el plano es paralelo a la generatriz, una parábola y si es paralelo al eje de simetría del cono, obtendremos una hipérbola.

Nos quedamos con el segundo caso, es decir, sección con un plano paralelo a la generatriz, en este caso, el plano proyectante vertical P.

Además de la generatriz AV, que nos da el punto 5 de la sección plana, nos auxiliamos de otras generatrices: CV, DV, EV y FV, con las que obtenemos los puntos 3, 4, 6 y 7, que junto con 1 y 2, puntos de la base del cono cortada por el plano P, forman la curva de la parábola buscada.

Abatimos P sobre el PH para obtener la verdadera magnitud de la sección hallada.

SISTEMA DIÉDRICO: HEXAEDRO Y SECCIONES

Conociendo las proyecciones diédricas del hexaedro o cubo, vamos a hallar las secciones con diferentes planos.

Proyecciones del hexaedro con la base apoyada en el PH 

La sección con un plano proyectante, en este caso vertical, coincide en su proyección horizontal (1 2 3 4) con la del cubo. La proyección vertical de la sección se ve como el segmento 1' 4' 2' 3'. Abatiremos el plano sobre el PH para hallar la verdadera magnitud de la sección.

 

La sección con un plano oblicuo la obtenemos por medio de planos auxiliares.

Teniendo en cuenta que las aristas laterales del cubo, al igual que las de un prisma recto, son rectas verticales, las contenemos en planos frontales auxiliares. Cada plano frontal nos da una recta frontal de intersección con el oblicuo, y estas rectas frontales a su vez cortarán a cada arista lateral del hexaedro en vértices del polígono de la sección.

Como nuestro plano corta la base inferior del cubo, el polígono que se obtiene en la sección es un pentágono, cuya verdadera magnitud obtenemos abatiendo el plano P sobre el PV. Los puntos 1 y 2 están contenidos en la traza P y por tanto, en su abatimiento.

Como se ve, no se han nombrado los planos frontales auxiliares, pero sí las rectas frontales de la intersección con el plano oblicuo (rectas R, S y T), para mayor claridad en el abatimiento de las mismas.

SISTEMA DIÉDRICO: OCTAEDRO/SECCIONES

El octaedro es un poliedro regular formado por 8 caras que son triángulos equiláteros y 12 aristas, por tanto, iguales en longitud.

Proyecciones diédricas de un octaedro

 

La representación del octaedro en el sistema diédrico nos viene dada por la posición de su altura (en el dibujo, segmento EF) como recta perpendicular al PH de proyección, de forma que esta altura se proyecta en el PV en su verdadera magnitud. Esta magnitud coincide con la de la diagonal del cuadrado que forman las aristas laterales del contorno ABCD del octaedro en proyección horizontal.

Diagonal AC= altura h.

Semidiagonal= mitad de la altura.

SECCIÓN CON PLANO PROYECTANTE VERTICAL

Al cortar el octaedro con un plano proyectante vertical y siendo este perpendicular al PV de proyección, la traza P' del plano corta directamente a cada arista del octaedro en su proyección vertical en los vértices del polígono de la sección (puntos 1-2-3-4-5-6).

Hallamos la proyección horizontal de la sección y abatimos el plano sobre el PH para obtener la verdadera magnitud de la misma.

SECCIÓN CON PLANO OBLICUO

Dado un plano oblicuo P, habría que hallar la intersección de cada arista del octaedro con el mismo: tenemos 8 aristas oblicuas y 4 aristas que son, en nuestro dibujo, rectas horizontales.

Para facilitar el procedimiento de resolución del ejercicio, utilizaremos el método de los cambios de plano, convirtiendo el plano P en proyectante vertical y hallando la nueva proyección vertical del octaedro en el cambio de plano vertical que realizaremos.

Nos auxiliamos de una recta R horizontal del plano P, que he hecho coincidir en su cota con la semialtura del octaedro.

Al hacer esto, volvemos al caso anterior de sección con proyectante vertical, es decir, obtendremos los puntos de corte del plano proyectante con cada arista del octaedro (¡ya vemos que no las puede cortar a todas!): 1'1, 2'1, 3'1... Hallamos las proyecciones horizontales de cada punto (1, 2, 3...) y desde aquí hallamos las proyecciones verticales sobre la LT original (1',2',3'...). No nos queda más que unir las proyecciones respectivas de cada punto y rayar cada proyección de la sección.

Para hallar la verdadera magnitud de la sección podemos recurrir a la afinidad ortogonal existente entre la proyección horizontal del polígono de la sección y su verdadera magnitud, utilizando como eje de la afinidad la traza horizontal del plano dado, P. 

Espero que os quede bien claro el procedimiento. Y recordad la importancia de poner siempre las letras y símbolos correspondientes para facilitar la comprensión del ejercicio.

SISTEMA DIÉDRICO: ÁNGULO DE RECTA CON PLANO

Hoy hemos visto en clase el ángulo de una recta oblicua con un plano oblicuo, aplicando el método de los cambios de plano para hallar, al final del ejercicio, la verdadera magnitud de dicho ángulo.

Os envío imagen del ejercicio en papel, ya que el de la pizarra era poco preciso.